【人教版】高中数学选择性必修第一册 (A版): 从观察到定义：空间几何体的结构演化与分类

观察身边的纸杯、纸箱、沙漏、金字塔、茶叶盒、钻石、牛奶盒、篮球及铅垂线，我们发现这些物体占据着三维空间。数学的任务是从这些感性认识中提取本质，系统地研究它们的结构特征。我们将这些由平面多边形围成的几何体称为多面体，而通过旋转生成的称为旋转体。

核心定义与分类

根据《人教版》选择性必修第一册第 8 章，我们需要掌握以下基本概念：

多面体 (Polyhedron)： 由若干个平面多边形围成的几何体。相邻两个多边形的公共边叫做棱。
棱柱 (Prism)： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行。
旋转面： 一条平面曲线绕其所在平面内的一条定直线旋转形成的曲面。

空间几何体的研究遵循“点→线→面→体”的逻辑，重点在于通过“平行”与“垂直”这两种核心位置关系来界定不同的几何结构。

$$V_{\text{柱}} = Sh, \quad V_{\text{锥}} = \frac{1}{3}Sh, \quad V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi R^3$$

QUESTION 1

1. 观察身边的几何物体（如纸杯、纸箱、沙漏），说出它们的主要结构特征。

纸杯通常是圆台，纸箱是长方体（四棱柱），沙漏是两个圆锥的组合。

所有物体都是多面体，因为它们都有棱。

纸杯是圆柱，因为它上下一样粗。

所有这些物体都是通过旋转得到的。

QUESTION 2

2. 判断下列命题是否正确：(1) 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体；(2) 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体。

(1) 错误 (2) 正确

(1) 正确 (2) 错误

(1) 正确 (2) 正确

(1) 错误 (2) 错误

QUESTION 3

3. 填空题：(1) 一个几何体由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是______。(2) 一个多面体最少有______个面，此时它是______。

(1) 正五棱柱; (2) 4, 三棱锥

(1) 五棱锥; (2) 4, 三棱柱

(1) 正五棱柱; (2) 3, 三角形

(1) 六棱柱; (2) 4, 四面体

QUESTION 4

4. 圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台是否也可以由平面图形旋转得到？

可以，由等腰梯形绕其一腰旋转得到

可以，由直角梯形绕其垂直于底边的腰旋转得到

不可以，圆台只能通过截断圆锥得到

可以，由矩形绕其对角线旋转得到

QUESTION 5

5. 关于祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。下列理解正确的是：

只要两个几何体的高相等，体积就相等

只要两个几何体的底面积相等，体积就相等

在等高处截得的截面积总相等，则体积相等

该原理只适用于柱体，不适用于球体

QUESTION 6

6. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体是：

棱柱

棱台

棱锥

圆锥

QUESTION 7

7. 在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，直线 $A'B$ 与 $AC$ 的位置关系是：

平行

相交

异面

垂直且相交

QUESTION 8

8. 如图，以直角梯形 $ABCD$ 的下底 $AB$ 所在直线为轴旋转一周。该几何体的结构特征是：

一个圆柱

一个圆锥

一个圆柱与一个圆锥的组合体

一个圆台

QUESTION 9

9. 不共面的四点可以确定几个平面？

1个

2个

3个

4个

QUESTION 10

10. 一个多面体有 6 个顶点，12 条棱，则它的面数 $F$ 是：